외적, 면이 어디를 보는지 알려주는 화살표

종이 한 장을 손에 들어 보세요. 그 종이는 지금 어디를 "보고" 있을까요? 앞일까요, 뒤일까요, 위일까요?

사람은 눈으로 보면 바로 압니다. 그런데 컴퓨터는 눈이 없어요. 그래서 숫자로 계산해야 해요. 그 계산 방법이 바로 외적입니다.

화살표부터 알아봐요

수학에서 화살표를 벡터라고 불러요. 어렵게 생각하지 마세요. 그냥 "이쪽으로 이만큼"이라는 뜻이에요.

예를 들어 "오른쪽으로 3걸음"도 화살표예요. "위로 2걸음"도 화살표고요. 방향이 있고 길이가 있으면 전부 화살표입니다.

화살표 두 개가 만나면 면이 생겨요

연필 두 자루를 책상에 올려놓아 보세요. 한 점에서 시작해서 서로 다른 방향으로 벌려 놓는 거예요.

그 두 연필 사이를 종이로 메우면? 납작한 면이 하나 생깁니다. 화살표 두 개가 면 하나를 만든 거예요.

그런데 이 면이 어디를 향하는지 알고 싶어요. 그럴 때 쓰는 게 외적이에요.

외적은 "면에 꽂는 깃발"이에요

운동장에 깃발을 꽂는 장면을 떠올려 보세요. 깃대는 땅에 똑바로 서 있죠. 땅에 눕지 않아요.

외적도 똑같아요. 화살표 두 개가 만든 면 위에, 똑바로 서는 새 화살표를 만들어 줍니다.

이 깃발 화살표를 노멀이라고 불러요. 우리말로는 "법선"이에요. 면이 바라보는 방향이라는 뜻이죠.

오른손으로 방향을 찾아요

여기서 문제가 하나 있어요. 깃발이 위로 설 수도 있고, 아래로 설 수도 있잖아요. 어느 쪽일까요?

수학자들은 오른손 법칙이라는 약속을 만들었어요. 진짜 오른손을 써요.

1. 오른손 손가락을 첫 번째 화살표 방향으로 쭉 폅니다.
2. 두 번째 화살표 쪽으로 손가락을 감아 쥡니다.
3. 이때 엄지손가락이 가리키는 곳! 그게 외적의 방향이에요.

지금 바로 해보세요. 오른손을 들고 손가락을 감아 보면 엄지가 어딘가를 가리킬 거예요. 그게 답입니다.

순서를 바꾸면 방향이 뒤집혀요

중요한 사실이 하나 있어요. 외적은 순서를 지켜야 합니다.

"ㄱ 곱하기 ㄴ"과 "ㄴ 곱하기 ㄱ"은 결과가 달라요. 길이는 같은데 방향이 정반대가 돼요.

2 더하기 3이나 3 더하기 2나 똑같이 5인 것과는 완전히 다르죠. 외적은 순서에 예민한 계산이에요.

납작해지면 깃발이 사라져요

화살표 두 개를 점점 붙여 볼까요? 벌어진 각도를 줄이는 거예요.

완전히 겹치면 어떻게 될까요? 면이 사라집니다. 종이가 아니라 그냥 선 하나가 되니까요.

면이 없으면 꽂을 곳도 없죠. 그래서 외적의 길이는 0이 됩니다. 깃발이 쏙 사라져요.

반대로 두 화살표가 정확히 직각으로 벌어지면? 그때 외적이 가장 길어집니다. 면이 가장 넓게 펼쳐졌으니까요.

정리하면 이래요. 외적의 길이는 두 화살표가 만든 평행사변형의 넓이와 같아요. 넓이가 방향과 함께 딸려 오는 셈이죠.

숫자로는 이렇게 계산해요

화살표를 숫자 세 개로 적을 수 있어요. 좌우, 앞뒤, 위아래를 뜻하는 숫자들이죠.

이 숫자들을 표로 늘어놓고, 비스듬한 줄을 따라 곱하고 빼면 외적이 나와요. 이 방법을 사뤼스 규칙이라고 불러요.

대각선을 따라 쭉 긋는 모습이 보이시죠. 한쪽 방향 대각선은 더하고, 반대 방향 대각선은 빼요. 규칙만 외우면 초등학생도 손으로 풀 수 있어요.

간단한 예시를 풀어봐요

화살표 ㄱ은 "오른쪽으로 1"이에요. 숫자로 쓰면 (1, 0, 0)입니다.

화살표 ㄴ은 "앞으로 1"이에요. 숫자로 쓰면 (0, 1, 0)입니다.

이 둘은 바닥에 납작하게 누워 있어요. 그럼 면도 바닥에 누워 있겠죠. 면이 보는 방향은? 당연히 위쪽!

계산 결과는 (0, 0, 1)입니다. "위로 1"이라는 뜻이에요. 우리가 눈으로 짐작한 것과 딱 맞아떨어져요.

이걸 어디에 쓰냐고요?

생각보다 아주 많은 곳에 쓰여요.

게임과 애니메이션. 게임 속 캐릭터 얼굴에 빛이 닿으면 밝아지죠. 컴퓨터는 그 면의 노멀과 빛의 방향을 비교해서 밝기를 정해요. 노멀이 빛을 정면으로 보면 환하게, 비스듬히 보면 어둡게요.

로봇과 자동차. 자율주행차는 앞에 있는 벽이 어느 쪽을 향하는지 알아야 해요. 그래야 부딪히지 않고 방향을 틀 수 있으니까요.

3D 프린터. 모형을 만들 때도 각 면이 안쪽인지 바깥쪽인지 구분해야 해요. 노멀이 그 구분을 해줍니다.

비슷하지만 다른 계산, 내적

외적과 이름이 비슷한 내적이라는 것도 있어요. 헷갈리기 쉬우니 짚고 갈게요.

외적은 "방향을 새로 만드는 계산", 내적은 "닮은 정도를 재는 계산"이라고 기억하세요.

한 가지 주의할 점

외적은 3차원에서만 제대로 작동해요. 좌우, 앞뒤, 위아래가 다 있는 공간이어야 해요.

왜냐고요? 납작한 종이 위(2차원)에서는 "위로 솟을" 공간이 없거든요. 깃발을 꽂을 방이 없는 거죠.

오늘 배운 것 정리

• 화살표 두 개는 면 하나를 만든다.
• 외적은 그 면에 똑바로 꽂히는 깃발 화살표다.
• 깃발이 향하는 쪽은 오른손을 감아쥐면 알 수 있다.
• 순서를 바꾸면 방향이 반대가 된다.
• 두 화살표가 겹치면 외적은 0이 된다.
• 게임 조명, 로봇, 3D 모형에 매일 쓰인다.

다음에 게임을 할 때 캐릭터 얼굴의 밝기를 한번 눈여겨보세요. 그 뒤에서 외적이 조용히 계산되고 있답니다.