행렬 — 그림을 옮기고 돌리고 키우는 기계

여러분, 사물함을 떠올려 보세요. 사물함은 가로줄과 세로줄로 네모나게 붙어 있죠. 각 칸에는 물건이 하나씩 들어 있어요.

행렬도 똑같아요. 숫자를 네모난 칸에 줄 맞춰 넣어 둔 거예요. 그게 전부예요. 어렵지 않죠?

행렬은 어떻게 생겼을까?

가로로 늘어선 줄을 행이라고 불러요. 세로로 늘어선 줄은 열이에요.

외우는 방법이 있어요. "행"은 가로로 걸어가는 길, "열"은 줄을 서듯 세로로 선 것. 이렇게 기억해 보세요.

위 그림의 행렬은 가로줄이 2개, 세로줄이 3개예요. 그래서 "2행 3열 행렬"이라고 불러요.

행렬끼리 더하기

행렬 두 개를 더하는 건 아주 쉬워요. 같은 자리끼리 더하면 끝이에요.

사물함 두 개가 나란히 있다고 상상해 보세요. 왼쪽 사물함 첫째 칸에 사탕 2개, 오른쪽 사물함 첫째 칸에 사탕 3개가 있어요. 두 사물함을 합치면? 첫째 칸에는 사탕 5개가 되죠.

다른 칸도 똑같이 해요. 둘째 칸은 둘째 칸끼리, 셋째 칸은 셋째 칸끼리. 자리를 섞으면 안 돼요.

딱 한 가지 규칙이 있어요. 모양이 같아야 더할 수 있어요. 3칸짜리 사물함과 5칸짜리 사물함은 짝이 맞지 않으니까요.

행렬끼리 곱하기

곱하기는 조금 특이해요. 더하기처럼 같은 자리끼리 곱하는 게 아니에요.

이렇게 생각해 보세요. 왼쪽 행렬에서 가로줄 하나를 뽑아요. 오른쪽 행렬에서 세로줄 하나를 뽑아요. 두 줄을 나란히 세우고, 첫 번째끼리 곱하고 두 번째끼리 곱해서, 그 결과를 전부 더해요.

급식 계산으로 비유해 볼까요? 가로줄은 "내가 먹은 개수"예요. 밥 1그릇, 반찬 2개, 우유 1개. 세로줄은 "각각의 가격"이에요. 밥 500원, 반찬 300원, 우유 400원.

총 얼마일까요? (1×500) + (2×300) + (1×400) = 1500원. 이게 바로 행렬 곱셈의 한 칸이에요!

재미있는 사실이 하나 있어요. 숫자는 2×3과 3×2가 똑같지만, 행렬은 순서를 바꾸면 답이 달라져요. 옷을 입고 신발을 신는 것과, 신발을 신고 옷을 입는 게 다른 것처럼요.

진짜 재주 — 그림을 옮기고 돌리고 키우기

여기가 행렬의 가장 멋진 부분이에요. 행렬은 그냥 숫자 상자가 아니라 기계랍니다.

점 하나의 위치를 행렬에 넣으면, 새로운 위치가 나와요. 어떤 숫자를 넣느냐에 따라 기계가 하는 일이 달라져요.

• 키우기: 모든 점을 원래보다 멀리 밀어내면 그림이 커져요.
• 돌리기: 모든 점을 같은 각도만큼 빙 돌리면 그림이 회전해요.
• 기울이기: 위쪽만 옆으로 밀면 그림이 비스듬해져요.
• 뒤집기: 거울에 비친 것처럼 좌우가 바뀌어요.

넓이가 얼마나 변했을까?

작은 정사각형 하나를 행렬 기계에 넣으면, 비스듬한 평행사변형이 되어 나와요.

그러면 궁금해지죠. "넓이는 몇 배가 됐을까?"

이 넓이 배율을 알려 주는 숫자가 있어요. 이름은 행렬식이에요. 이름은 어렵지만 뜻은 간단해요.

• 행렬식이 2면 → 넓이가 2배로 커졌어요.
• 행렬식이 1이면 → 넓이가 그대로예요. (돌리기만 한 경우죠.)
• 행렬식이 0이면 → 그림이 납작하게 눌려서 선이 되어 버렸어요!

행렬식이 0이면 되돌릴 수 없어요. 찰흙 인형을 손바닥으로 완전히 눌러 납작하게 만들면, 원래 모양이 뭐였는지 알 수 없는 것과 같아요.

행렬은 그림 말고도 쓸모가 많아요

친구 관계도 행렬로 적을 수 있어요.

가로줄과 세로줄에 친구들 이름을 적어요. 두 사람이 친구면 그 칸에 1을 쓰고, 아니면 0을 써요. 이렇게 하면 친구 관계 전체가 숫자 표 하나가 돼요.

컴퓨터는 그림보다 숫자를 훨씬 잘 다뤄요. 그래서 지도, 지하철 노선, SNS 친구 관계 같은 것들을 전부 행렬로 바꿔서 계산해요.

어디에 쓰일까?

• 게임: 캐릭터가 뛰고 돌 때마다 행렬이 위치를 계산해요.
• 사진 앱: 사진을 돌리거나 확대하는 것도 행렬이에요.
• 애니메이션: 3D 영화 속 인물의 모든 움직임이 행렬 계산이에요.
• 인공지능: AI가 배우는 과정은 거대한 행렬 곱셈의 연속이에요.
• 내비게이션: 길을 찾을 때 도로 연결을 행렬로 표현해요.

여러분이 오늘 본 화면 속 모든 움직임 뒤에는, 사실 조용히 일하는 숫자 상자가 있었던 거예요.

정리해 볼까요?

기억할 건 딱 세 가지예요.

1. 행렬은 숫자를 네모나게 정리한 상자예요. 가로줄이 행, 세로줄이 열이에요.
2. 더하기는 같은 자리끼리, 곱하기는 가로줄과 세로줄을 짝지어서 해요.
3. 행렬은 그림을 옮기고 돌리고 키우는 기계예요. 그래서 게임과 AI가 행렬을 좋아해요.

처음엔 낯선 숫자 표처럼 보였지만, 알고 보면 세상을 움직이는 아주 부지런한 기계였어요.